Para producir un sonido musical estándar, (es decir, uno que tenga un tonodefinido y un timbre determinado), es necesario el movimiento periódico de alguna fuente objeto. Por ejemplo, para producir la A musical estándar (440 Hz.), el objeto fuente debe sostener un movimiento periódico de 440 vibraciones por segundo, con una tolerancia de menos de 1 Hz -el oído humano normal puede detectar la diferencia entre 440 Hz y 441 Hz-. Las condiciones necesarias para el movimiento periódico son
- elasticidad -la capacidad para volver de manera precisa a la configuración original después de ser distorsionado.
- a. Una configuración de equilibrio definida.
- b. Una fuerza restauradora que devuelve el equilibrio al sistema.
- Una fuente de energía.
Afortunadamente, no es difícil encontrar vibradores que cumplan estas condiciones, de ahí la riqueza en la variedad de fuentes de sonido musicales.
Términos para Describir el Movimiento Periódico
Una masa suspendida de un muelle, es un ejemplo de movimiento periódico con una frecuencia simple, llamado movimiento armónico simple.
FRECUENCIA:
Número de oscilaciones, ciclos, vibraciones, que realiza el móvil en la unidad de tiempo
(s).
f = n/t hertz (hz, s-1)
PERIODO: Tiempo que emplea el móvil en dar una vuelta.
T= t/n s. t=1/f
ELONGACIÓN:
Separación del móvil con respecto a su posición de equilibrio (cm, m)
AMPLITUD: Máxima separación del móvil con respecto a su posición de equilibrio. Máxima elongación.
FASE:
Ángulo que se forma entre la posición del móvil y el punto de equilibrio. También se denomina
amplitud angular
y si el movimiento periódico está en forma de propagación de onda, se necesita también
- velocidad de propagación: v
- longitud de onda: distancia repetida de la onda λ.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS, Movimiento Armónico Simple. Para ello, empezaremos viendo una serie de definiciones sencillas:
Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del mivimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.
Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.
Resorte
Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos AMPLITUD y la representamos por A.
La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como ELONGACIÓN, x.
El tiempo en realizar una oscilación completa es el PERÍODO, representado por T y medido en segundos.
La FRECUENCIA es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por n.
Para definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación, donde veremos la relación entre las magnitudes que intervienen e influyen sobre él. Como cualquier movimiento, debemos encontrar una ecuación que nos relacione la posición (x) con el tiempo, es decir, encontrar la expresión de la posición en función del tiempo. Para ello vamos a partir de dos leyes muy conocidas en Física:
- Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la posición y de signo contrario. La expresión de la ley es:
F = - Kx
- La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir que toda aceleración tiene su origen en una fuerza. esto lo expresamos con la conocida:
F = ma
Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:
donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. A partir de esta ecuación encontramos dos soluciones para el valor de la posición en función del tiempo:
x = A sen(wt + q) y x = A cos(wt + q)
siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios (pinto donde empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos.
El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la ecuación que viene a continuación:
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS
A partir de la ecuación de la posición o elongación (partimos de la 1ª ecuación de la de arriba) y, derivando con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en el MAS:
v = A w cos(wt + q)
Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en función de x, la elongación:
mas3.gif (575 bytes)
Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la ecuación de la aceleración en el MAS:
a = - A w2 sen(wt + q)
de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición:
a = - A w2
Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla:
Magnitud Ecuación Condición máximo Se da en
Velocidad mas3.gif (575 bytes) X = 0
El punto de equilibrio
Aceleración
a = - A w2 X = A (X es máximo)
En los puntos extremos
Vamos a presentarte dos applets para corroborar estas últimas afirmaciones y que puedas observar visualmente, los puntos donde se alcanzan los valores máximos de ambas magnitudes.
Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS, Movimiento Armónico Simple. Para ello, empezaremos viendo una serie de definiciones sencillas:
Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del mivimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.
Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.
Resorte
Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos AMPLITUD y la representamos por A.
La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como ELONGACIÓN, x.
El tiempo en realizar una oscilación completa es el PERÍODO, representado por T y medido en segundos.
La FRECUENCIA es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por n.
Para definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación, donde veremos la relación entre las magnitudes que intervienen e influyen sobre él. Como cualquier movimiento, debemos encontrar una ecuación que nos relacione la posición (x) con el tiempo, es decir, encontrar la expresión de la posición en función del tiempo. Para ello vamos a partir de dos leyes muy conocidas en Física:
- Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la posición y de signo contrario. La expresión de la ley es:
F = - Kx
- La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir que toda aceleración tiene su origen en una fuerza. esto lo expresamos con la conocida:
F = ma
Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:
donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. A partir de esta ecuación encontramos dos soluciones para el valor de la posición en función del tiempo:
x = A sen(wt + q) y x = A cos(wt + q)
siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios (pinto donde empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos.
El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la ecuación que viene a continuación:
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS
A partir de la ecuación de la posición o elongación (partimos de la 1ª ecuación de la de arriba) y, derivando con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en el MAS:
v = A w cos(wt + q)
Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en función de x, la elongación:
mas3.gif (575 bytes)
Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la ecuación de la aceleración en el MAS:
a = - A w2 sen(wt + q)
de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición:
a = - A w2
Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla:
Magnitud Ecuación Condición máximo Se da en
Velocidad mas3.gif (575 bytes) X = 0
El punto de equilibrio
Aceleración
a = - A w2 X = A (X es máximo)
En los puntos extremos
Vamos a presentarte dos applets para corroborar estas últimas afirmaciones y que puedas observar visualmente, los puntos donde se alcanzan los valores máximos de ambas magnitudes.
MOVIMIENTO PENDULAR
1. Movimiento lento de una masa suspendida de una cuerda a uno y otro lado de sus posición de equilibrio.
La fuerza que hace que el péndulo retorne a su posición de equilibrio es la componente en X del peso
Fx es la fuerza de restitución, cuyo valor es: Fx = p sen
Donde: P = peso del péndulo (mg)
= ángulo de fase.
El período del péndulo está expresado por:
LEYES
El período es independiente del material (masa) del péndulo. Si dos péndulos de igual longitud y diferente masa se sueltan con un mismo ángulo, su período de oscilación es igual.
El período es igual para ángulos inferiores a 15° (isócrono)
El período es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud.
El período es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la gravedad.
Observe que mediante la ecuación del período, se puede determinar el valor de la gravedad, ¿qué haría usted para encontrar su valor en el colegio?
CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS:
Se aplican para todo MAS.
En los extremos la velocidad es cero, por tanto, la aceleración es máxima. En el centro la velocidad es máxima y la aceleración cero (mínima).De acuerdo a lo anterior se tiene:
MAGNITUD EXTREMO CENTRO
VELOCIDAD CERO MÁXIMA
ACELERACIÓN MÁXIMA CERO
ENERGÍA POTENCIAL MÁXIMA CERO
ENERGÍA CINÉTICA CERO MÁXIMA
ENERGÍA CINETICA Y POTENCIAL EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Movimiento Armónico Simple
El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y también muchos han sido producidos por el hombre.
El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y también muchos han sido producidos por el hombre.
Definición
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempot por la ecuación
x = A sen (wt + j)
Donde
- A es la amplitud.
- w la frecuencia angular o pulsación.
- w t + j la fase.
- j o jo la fase inicial.
Características de un M.A.S. son:
- Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre+A y -A.
- La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que w(t+T)+j=w t+j+2p .
T = 2p/w
Cinemática de un M.A.S.
En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación
x = A sen (w t + j)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
v = A w cos (w t + j)
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil
a = – A w2 sen (w t + j ) = – w2x
Condiciones iniciales
Conociendo la pulsación w, la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en el instante t=0).
x0=A·senj
v0=Aw·cosj
v0=Aw·cosj
se puede determinar la amplitud A y la fase inicial φ
Dinámica de un M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.
F = m a = – m w2 x
En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armónico simple es una fuerza del tipo:
es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que está relacionada con la pulsación:
K = m w2
Teniendo en cuenta que w = 2p / T podemos deducir el periodo del movimiento armónico simple:
Como se origina un m.a.s.
Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud x de su posición de equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura:
Energía de un M.A.S.
En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.
En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía potencial más su energía cinética.
En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía potencial más su energía cinética.
Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).
Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética
Ec = 1/2 m v2
y el valor de la velocidad del m.a.s.
v = dx / dt = A w cos (w t + jo)
sustituyendo obtenemos
Ec = 1/2 m v2 = 1/2 m A2 w2cos2 (w t + jo)
Ec = 1/2 k A2 cos 2(w t + jo)
a partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:
sen2 + cos2 = 1
Ec = 1/2 k A2 [ 1 - sen 2(w t + jo)]
Ec = 1/2 k[ A2 - A2sen 2(w t + jo)]
de donde la energía cinética de una partícula sometida a un m.a.s. queda
Ec = 1/2 k [ A2 - x2]
Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo cuando la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose su valor mínimo en el extremo de la trayectoria.
La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario para llevar la partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de elongación y.
Por ello el valor de la energía potencial en una posición x vendrá dado por la expresión
Ep = 1/2 k x2
Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una partícula que describe un m.a.s. será:
Etotal = 1/2 K x2 + 1/2 K (A2-x2) = 1/2 KA2
E = 1/2 k A2
En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su amplitud permanece también constante.
Descripción del M.A.S. relacionándolo con un movimiento circular uniforme.
En este apartado, vamos a interpretar geométricamente el Movimiento Armónico Simple (M. A. S.), relacionándolo con el movimiento circular uniforme.
En la figura, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje X, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular w igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale
El ángulo w t + jque forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina fase del movimiento. El ángulo j que forma en el instante t=0, se denomina fase inicial.
Energía en el Movimiento Armónico Simple
La energía cinética de una partícula es Ec = 1/2 mv2 = 1/2 mw2A2cos2(wt +f0), o en función del desplazamiento
Ec = 1/2 mw2(A2- x2)
Energía potencial
Recordando que F = -dEp/dx y que F = -Kx se obtiene que dEp/dx = Kx
Integrando y eligiendo el cero de la energía potencial en la posición de equilibrio (x=0):
La energía potencial es mínima en la posición de equilibrio y máxima en los extremos x=±A
Sumando la energía cinética y potencial se obtiene la siguiente expresión:
E =Ec +Ep = 1/2 mw2(A2- x2) + 1/2 mw2 x2 = 1/2 mw2A2 = 1/2Kx2
Durante la oscilación, como muestra el diagrama, hay un intercambio de energía cinética y potencial, manteniéndose la energía total constante ya que se trata de una fuerza conservativa. La figura muestra una energía total de 15 unidades correspondientes a la línea horizontal negra. La línea vertical roja muestra la diferencia entre la energía total y la potencial (indicada por la línea discontinua sobre el eje de abscisas) y por tanto corresponde a la energía cinética. Los límites de oscilación están determinados por sus intersecciones con la curva de energía potencial y corresponden a los puntos ±A.
Curvas de energía potencial
Representación de la curva de la energía potencial de una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k, Ep=kx2/2.
Esta función representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.
Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. O bien, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.
La intensidad y el sentido de la fuerza vienen dado por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.
En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.
Durante la oscilación hay un intercambio de energía cinética y potencial, manteniéndose la energía total constante ya que se trata de una fuerza conservativa
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