PROPAGACIÓN DE ONDAS

Movimiento Ondulatorio

El movimiento ondulatorio es un proceso por el que se propaga energía de un lugar a otro sin transporte de materia, mediante ondas mecánicas. En cualquier punto de la trayectoria de propagación se produce un desplazamiento periódico u oscilación, alrededor de una posición de equilibrio. Puede ser una oscilación de partículas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la atmósfera, de moléculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del mar) o de porciones de una cuerda o un resorte. En todos estos casos, las partículas oscilan en torno a su posición de equilibrio y sólo la energía avanza de forma continua.

Estas ondas se denominan mecánicas porque la energía se transmite a través de un medio material, sin ningún movimiento global del propio medio. Las únicas ondas que no requieren un medio material para su propagación son las ondas electromagnéticas; en ese caso las oscilaciones corresponden a variaciones en la intensidad de los campos magnéticos y eléctricos.

Tipos de movimiento ondulatorio

Las ondas son una perturbación periódica del medio en que se mueven. En las ondas longitudinales, el medio se desplaza en la dirección de propagación. Por ejemplo, el aire se comprime y expande (figura 1) en la misma dirección en que avanza el sonido. En las ondas transversales, el medio se desplaza en ángulo recto a la dirección de propagación. Por ejemplo, las ondas en un estanque (figura 2) avanzan horizontalmente, pero el agua se desplaza verticalmente.

Los terremotos generan ondas de los dos tipos, que avanzan a distintas velocidades y con distintas trayectorias. Estas diferencias permiten determinar el epicentro del sismo. Las partículas atómicas y la luz pueden describirse mediante ondas de probabilidad, que en ciertos aspectos se comportan como las ondas de un estanque.

Interferencia: Cuando dos movimientos ondulatorios se propagan en la misma region de l espacio,ambos se superponen,dando lugar a un tercer movimiento cuya elongacion(en un punto determinado y en un momento concreto)se obtiene sumando las correspondientes elongaciones de ambos movimientos.
Conocidas las ecuaciones de propagacion de 2movimientos ondulatorios,se puede deducir analiticamente la ecuacion correspondiente al movimiento que resulta de la interferencia de ambos.
Si dichndas tienen igual direccion y sentido y ademas estan en posicion de fase(diferencia entre ambas fases de 180º) las sumas se anulan y los puntos estan en reposo.

Caracteristicas del movimiento ondulatorio:

Parametros:

• Velocidad (v):es el espacio longitudinal recorrido por la onda en cada unidad de tiempo. La velocidad de un movimiento ondulatorio depende del tipo de onda de que se trate y del medio de propagacion.


• Periodo(t):es el tiempo que tarda una particula en efectuar una oscilacion completa

• Longitud de onda(λ):es la distancia a la que se propaga una onda en el transcurso de un periodo. Es igual a la distancia entre dos puntos consecutivos situados en el medio de propagacion que tengan la misma posicion y la misma direccion(FASE).Los puntos situados a una distancia λ y en direccion de propagacion se hallan en concordancia de fase.


• Amplitud de onda(A):es el valor maximo del desplazamiento.(elongacion maxima)


• Frecuencia(N): es el numero de vibraciones que se producen en 1segundo. Su unidad es Herzio(Hz).

Las ondas electromagneticas experimentan los fenomenos de:

Reflexion: Cuando un movimiento ondulatorio inside sobre un obstaculo , se origina otro movimiento ondulario,denominado reflejado,que se propaga por el mismo medio en el fenomeno de reflexion .

Las caracteristicas del movimiento reflejado dependen de la forma que presentan el obstaculo.

Refraccion: En un medio homogeneo,un movimiento ondulatorio se propaga con velocidad constante, siendo esta velocidad de propagacion distinta para cada medio.

Al pasar de un medio a otro de distinta densidad ,todas las ondas electromagneticas cambian su direccion porque varia su velocidad de propagacion de ambos.

Difraccion:Las ondas electromagneticas pueden bordear obstaculos que se encuentran en su camino cuando atraviesan hendiduras cuyo ancho es del mismo orden que la λ. LA difraccion es mucho mas evidente en ondas largas o medias.Estas ondas no tienen inconvenientes en rodear por difraccion cualquier objeto que se interpone en su camino y asi llegar hasta los receptores. En cambio, a medida que la λ de la onda disminuye la posibilidad de difractarse se reduce.

Cuando una cuerda tensa se pulsa o se roza la perturbación resultante se propaga a lo largo de ella. Dicha perturbación consiste en la variación de la forma de la cuerda a partir de su estado de equilibrio: los segmentos de la cuerda se mueven en una dirección perpendicular a la cuerda y por tanto perpendicularmente a la dirección de propagación de la perturbación. Una onda en la que la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación se denomina onda transversal.

EJEMPLOS Y SIMULACIONES Ondas transversales en una cuerda La siguiente simulación representa la propagación de una onda transversal, y con ella trataremos de mostrar las características esenciales del movimiento ondulatorio armónico. Algunos movimientos ondulatorios mecánicos, como las olas superficiales de los líquidos, son combinaciones de movimientos longitudinales y transversales, con lo que las partículas de líquido se mueven de forma circular. Longitud de onda λ: En una onda longitudinal, es la distancia entre dos compresiones o dos enrarecimientos sucesivos de la onda. En una onda transversal, la longitud de onda es la distancia entre dos crestas o valles sucesivos. Período T:  Es el tiempo que tarda una partícula en realizar una oscilación completa (una cresta completa y un valle completo consecutivos). Frecuencia F: La frecuencia es el número de vibraciones que se producen en cada segundo de tiempo transcurrido. La unidad de medida sería vibraciones/segundos, pero de acuerdo a la definición de Herzio se la expresa como Hz. También tiene una fórmula que es: F = 1 / T Velocidad de propagación V: La velocidad de propagación de la onda depende de la longitud de onda y del medio de propagación, es igual a su longitud de onda multiplicada por su frecuencia. V = λ . F Si reemplazamos la fórmula de la frecuencia nos queda: V = λ .1 / T V = λ / T Amplitud de onda A: Es el valor máximo o elongación máxima del desplazamiento de las partículas que vibran. Interferencia: Cuando dos ondas se encuentran en un punto, el desplazamiento resultante en ese punto es la suma de los desplazamientos individuales producidos por cada una de las ondas. Si los desplazamientos van en el mismo sentido, ambas ondas se refuerzan; si van en sentido opuesto, se debilitan mutuamente, este fenómeno se conoce como interferencia. Ondas estacionarias: Cuando dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y velocidad avanzan en sentido opuesto a través de un medio se forman ondas estacionarias. Las ondas en las que la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denominan longitudinales. Un ejemplo muy importante lo constituyen las ondas sonoras propagándose en cualquier medio material (sólido, líquido o gaseoso). Durante la propagación de la onda, las moléculas del medio oscilan en la dirección de propagación. EJEMPLOS Y SIMULACIONES Ondas longitudinales en una barra elástica La siguiente simulación representa la propagación de una onda longitudinal, y con ella trataremos de mostrar las características esenciales del movimiento ondulatorio armónico. Supongamos que una fuente situada en el origen describe un movimiento armónico simple. El movimiento de la fuente es comunicado a las partículas del medio, en el cual se propaga un movimiento ondulatorio armónico. Puede observarse cómo las partículas del medio, y en particular, las situadas en la posición x = 3, dibujadas en color azul para distinguirlas del resto, describen un movimiento armónico simple. La parte superior de la figura, representa el desplazamiento de cada una de las partículas del medio en función de tiempo. Por razones de claridad su amplitud se ha exagerado.

PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple es uno de los modelos ideales más comunes en la física, consiste en una masa puntual suspendida de un hilo de masa despreciable y que no se puede estirar. Si movemos la masa a un lado de su posición de equilibrio (vertical) esta va a oscilar al rededor de dicha posición.

La plomada de un teodolito y un niño que se balancea en un columpio son ejemplos prácticos que se pueden simular o modelar como un péndulo simple.

Debemos tener en cuenta que para que este modelo sea válido, lasoscilaciones deben ser pequeñas. Esto en razón a que para ángulos pequeños el seno de ángulo Ɵ es casi igual al ángulo Ɵ en radianes.

Así podemos decir que el movimiento del péndulo simple es armónico y que al estudiar la dinámica de su movimiento obtendremos que el periodo y la frecuencia dependen solamente de la longitud y la gravedad.

A continuación vamos a ver un ejercicio sencillo y práctico para entender un poco mejor este concepto. Si te gusto este articulo suscribete al boletín electronico de Mi Profesor de Fisica para que recibas artículos y videos relacionados con otros temas de física general.

VER VÍDEO

Fundamentos físicos

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición q₀ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

• el peso mg
• La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq  en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.

• Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es a_n=v²/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe
ma_n=T-mg·cosq
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q  podemos determinar la tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv²/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq₀

• Principio de conservación de la energía

En la posición θ=θ₀ el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.

Comparemos dos posiciones del péndulo: En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial. E=mg(l-l·cosθ0) En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial La energía se conserva v2=2gl(cosθ-cosθ0) La tensión de la cuerda es T=mg(3cosθ-2cosθ0) La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula). Ecuación del movimiento en la dirección tangencial La aceleración de la partícula es at=dv/dt. La segunda ley de Newton se escribe mat=-mg·senq La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial  (1) Medida de la aceleración de la gravedad Cuando el ángulo q  es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es q =q0·sen(w t+j ) de frecuencia angular w2=g/l, o de periodo La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r. La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masag=F/m colocada en dicho punto. su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste. En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes. Ejemplo: Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024 kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración Cinemática Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste. Oscilaciones Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan  el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo. De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal. Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes: P2/(4p2) en el eje vertical y La longitud del péndulo l en el eje horizontal. La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.

MOVIMIENTO PERIODICO

Para producir un sonido musical estándar, (es decir, uno que tenga un tonodefinido y un timbre determinado), es necesario el movimiento periódico de alguna fuente objeto. Por ejemplo, para producir la A musical estándar (440 Hz.), el objeto fuente debe sostener un movimiento periódico de 440 vibraciones por segundo, con una tolerancia de menos de 1 Hz -el oído humano normal puede detectar la diferencia entre 440 Hz y 441 Hz-. Las condiciones necesarias para el movimiento periódico son

1. elasticidad -la capacidad para volver de manera precisa a la configuración original después de ser distorsionado.
   1. a. Una configuración de equilibrio definida.
   2. b. Una fuerza restauradora que devuelve el equilibrio al sistema.
2. Una fuente de energía.

Afortunadamente, no es difícil encontrar vibradores que cumplan estas condiciones, de ahí la riqueza en la variedad de fuentes de sonido musicales.

Términos para Describir el Movimiento Periódico

Una masa suspendida de un muelle, es un ejemplo de movimiento periódico con una frecuencia simple, llamado movimiento armónico simple.

FRECUENCIA: 

Número de oscilaciones, ciclos, vibraciones, que realiza el móvil en la unidad de tiempo 

(s). 

f = n/t    hertz (hz, s-1)

PERIODO: Tiempo que emplea el móvil en dar una vuelta.

T= t/n    s.     t=1/f

ELONGACIÓN: 

Separación del móvil con respecto a su posición de equilibrio (cm, m)

AMPLITUD: Máxima separación del móvil con respecto a su posición de equilibrio. Máxima elongación.

FASE: 

Ángulo que se forma entre la posición del móvil y el punto de equilibrio. También se denomina 

amplitud angular

y si el movimiento periódico está en forma de propagación de onda, se necesita también

• velocidad de propagación: v



• longitud de onda: distancia repetida de la onda λ.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS, Movimiento Armónico Simple. Para ello, empezaremos viendo una serie de definiciones sencillas:

Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del mivimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.

Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.

Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.

Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.

Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.

Resorte
Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos AMPLITUD y la representamos por A.

La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como ELONGACIÓN, x.

El tiempo en realizar una oscilación completa es el PERÍODO, representado por T y medido en segundos.

La FRECUENCIA es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por n.



Para definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación, donde veremos la relación entre las magnitudes que intervienen e influyen sobre él. Como cualquier movimiento, debemos encontrar una ecuación que nos relacione la posición (x) con el tiempo, es decir, encontrar la expresión de la posición en función del tiempo. Para ello vamos a partir de dos leyes muy conocidas en Física:

- Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la posición y de signo contrario. La expresión de la ley es:

F = - Kx

- La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir que toda aceleración tiene su origen en una fuerza. esto lo expresamos con la conocida:

F = ma

Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:

donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. A partir de esta ecuación encontramos dos soluciones para el valor de la posición en función del tiempo:

x = A sen(wt + q) y x = A cos(wt + q)

siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios (pinto donde empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos.

El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la ecuación que viene a continuación:

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS

A partir de la ecuación de la posición o elongación (partimos de la 1ª ecuación de la de arriba) y, derivando con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en el MAS:

v = A w cos(wt + q)

Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en función de x, la elongación:

mas3.gif (575 bytes)

Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la ecuación de la aceleración en el MAS:

a = - A w2 sen(wt + q)

de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición:

a = - A w2

Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla:
Magnitud Ecuación Condición máximo Se da en
Velocidad mas3.gif (575 bytes) X = 0

El punto de equilibrio

Aceleración
a = - A w2 X = A (X es máximo)

En los puntos extremos

Vamos a presentarte dos applets para corroborar estas últimas afirmaciones y que puedas observar visualmente, los puntos donde se alcanzan los valores máximos de ambas magnitudes.

MOVIMIENTO PENDULAR

1.  Movimiento lento de una masa suspendida de una cuerda a uno y otro lado de sus posición de equilibrio. 

La fuerza que hace que el péndulo retorne a su posición de equilibrio es la componente en X del peso

       Fx   es la fuerza de restitución, cuyo valor es: Fx = p sen 

       Donde: P = peso del péndulo (mg)

                     = ángulo de fase.

El período del péndulo está expresado por: 

LEYES

El período es independiente del material (masa) del péndulo. Si dos péndulos de igual longitud y diferente masa se sueltan con un mismo ángulo, su período de oscilación es igual.

El período es igual para ángulos inferiores a 15° (isócrono)

El período es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud.

El período es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la gravedad.

Observe que mediante la ecuación del período, se puede determinar el valor de la gravedad, ¿qué haría usted para encontrar su valor en el colegio?

CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS: 

Se aplican para todo MAS.

En los extremos la velocidad es cero, por tanto, la aceleración es máxima. En el centro la velocidad es máxima y la aceleración cero (mínima).De acuerdo a lo anterior se tiene:

MAGNITUD                                          EXTREMO                  CENTRO

VELOCIDAD                                         CERO                         MÁXIMA

ACELERACIÓN                                  MÁXIMA                       CERO

ENERGÍA POTENCIAL                      MÁXIMA                       CERO

ENERGÍA CINÉTICA                            CERO                         MÁXIMA

ENERGÍA CINETICA Y POTENCIAL EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Movimiento Armónico Simple
El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y también muchos han sido producidos por el hombre.



Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempot por la ecuación

x = A sen (wt + j)

Donde

• A es la amplitud.
• w la frecuencia angular o pulsación.
• w t + j la fase.
• j o j_o la fase inicial.

Características de un M.A.S. son:

• Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre+A y -A.

• La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que w(t+T)+j=w t+j+2p .

T = 2p/w

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

x = A sen (w t + j)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

v = A w cos (w t + j)

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

a = – A w² sen (w t + j ) = – w²x

Condiciones iniciales

Conociendo la pulsación w, la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ (en el instante t=0).

x₀=A·senj
v₀=Aw·cosj

se puede determinar la amplitud A y la fase inicial φ

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

F = m a = – m w² x

En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armónico simple es una fuerza del tipo:

F = -K x

es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que está relacionada con la pulsación:

K = m w²

Teniendo en cuenta que  w = 2p / T podemos deducir el periodo del movimiento armónico simple:

Como se origina un m.a.s.

Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud  x de su posición de equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura:

Energía de un M.A.S.

En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.
En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía potencial más su energía cinética.

Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).

Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética

Ec = 1/2 m v²

y el valor de la velocidad del m.a.s.

v = dx / dt  = A w cos (w t + j_o)

sustituyendo obtenemos

Ec  = 1/2 m v² =   1/2 m A² w²cos² (w t + j_o)

Ec  = 1/2 k A² cos ²(w t + j_o)

a partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:

sen² + cos² = 1

Ec  = 1/2 k A² [ 1 - sen ²(w t + j_o)]

Ec  = 1/2 k[ A² - A²sen ²(w t + j_o)]

de donde la energía cinética de una partícula sometida a un m.a.s. queda

Ec  = 1/2 k [ A² - x²]

Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo cuando la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose su valor mínimo en el extremo de la trayectoria.

La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario para llevar la partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de elongación y.

Por ello el valor de la energía potencial  en una posición x vendrá dado por la expresión

Ep = 1/2 k x²

Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial  más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una partícula que describe un m.a.s. será:

E_total = 1/2 K x² +  1/2 K (A²-x²) = 1/2 KA²

E = 1/2 k A²

En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su amplitud permanece también constante.

Descripción del  M.A.S. relacionándolo con un movimiento circular uniforme.

En este apartado, vamos a interpretar geométricamente el Movimiento Armónico Simple (M. A. S.), relacionándolo con el movimiento circular uniforme.

En la figura, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje X, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular w igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale

El ángulo w t + jque forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina fase del movimiento. El ángulo j que forma en el instante t=0, se denomina fase inicial.

Energía en el Movimiento Armónico Simple

La energía cinética de una partícula es Ec = 1/2 mv² = 1/2 mw²A²cos²(wt +f₀), o en función del desplazamiento

E_c = 1/2 mw²(A²- x²)

Energía potencial

Recordando que F = -dEp/dx y que F = -Kx se obtiene que dEp/dx = Kx

Integrando y eligiendo el cero de la energía potencial en la posición de equilibrio (x=0):

La energía potencial es mínima en la posición de equilibrio y máxima en los extremos x=±A

Sumando la energía cinética y potencial se obtiene la siguiente expresión:

E =Ec +Ep = 1/2 mw²(A²- x²) + 1/2 mw² x² = 1/2 mw²A² = 1/2Kx²

Durante la oscilación, como muestra el diagrama, hay un intercambio de energía cinética y potencial, manteniéndose la energía total constante ya que se trata de una fuerza conservativa. La figura muestra una energía total de 15 unidades correspondientes a la línea horizontal negra. La línea vertical roja muestra la diferencia entre la energía total y la potencial (indicada por la línea discontinua sobre el eje de abscisas) y por tanto corresponde a la energía cinética. Los límites de oscilación están determinados por sus intersecciones con la curva de energía potencial y corresponden a los puntos ±A. 

Curvas de energía potencial

Representación de la curva de la energía potencial de una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k, E_p=kx²/2.

Esta función representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es E_p=0.

Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero E_k>=0. O bien, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=E_p. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

La intensidad y el sentido de la fuerza vienen dado por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

Durante la oscilación hay un intercambio de energía cinética y potencial, manteniéndose la energía total constante ya que se trata de una fuerza conservativa